1. SKALARI I VEKTORI U TRODIMENZIONALNOM EUKLIDSKOM PROSTORU

a. Skalari i skalarna polja - Sabiranje i množenje skalara, osobine, pojam grupe. Skalarno polje, ekviskalarne površi, izvod skalarne funkcije u zadatom pravcu. Gradijent, analitički izraz u Descartesovim koordinatama, gradijent složenijih izraza.

b. Simbolički metod u algebri vektora –

Sabiranje vektora, mnozenje skalarom, skalarni i vektorski proizvod, osnovne osobine ovih operacija. Mešoviti proizvod i dvostruki vektorski proizvod.

c. Koordinatni metod u algebri vektora –

Pojam linearnog vektorskog prostora (LVP). Linearna nezavisnost i zavisnost – geometrijska interpretacija za dva i tri vektora. Gramm-ove determinante. Algebarska baza I koordinate vektora, recipročni trijedri i Gibbs-ove relacije. Kroneckerov simbol i simbol Levi-Civita, (klasična) sumaciona konvencija. Ortonormirane baze, ortogonalne transformacije (rotacije I inverzije) baza, ponašanje koordinata vektora pri ovim transformacijama, pravi I pseudovektori. Pridruživanje matrica vektorima, algebarski izomorfizam.

d. Vektorske funkcije jednog i dva skalarna argumenta

Pojam hodografa kod ovih vektorskih funkcija. (Orjentisani) Elemenat luka linije, prirodni trijedar, i Freneove relacije.Konačne jednačine kretanja materijalne tačke (kinematički i dinamički elementi) u Dekartovim i prirodnim koordinatama. Sistemi materijalnih tačaka (električni i magnetni dipolni moment sistema)Element površine i orjentisani element površine, normala na površ.

e. Vektorska polja

Vektorske linije i cevi, cirkulacija i fluks vektorske funkcije. Divergencija i rotor: definicija, fizički smisao, analitički izrazi u Dekartovim koordinatama. Hamiltonov („nabla“) operator I simboličko prikazivanje gradijenta, divergencije i rotora. Prostorni izvodi i pravila za izračunavanja složenijih izraza. Prostorni izvodi višeg reda, laplasijan, identiteti. Gausova i Stoksova teorema i njihove varijante, primene. Unošenje operatora (d/dt) pod integral po vremenski zavisnom domenu. Jednačine kontinuiteta (mase I naelektrisanja).

f. Klasifikacija vektorskih polja

Potencijali i njihova nejednoznačnost, normiranje, kalibracija.Poasonova jednačina za potencijale, grani!ni uslovi, jednoznačnost rešenja. Kalibracione transformacije I kalibraciona invarijantnost.

g. Generalisane (krivolinijske) koordinate

Uvodjenje generalisanih koordinata, jakobijan. Koordinatne linije i površi, lokalni koordinatni sistem. Lameovi koeficijenti i metrička forma. Lokalni trijedri. Kontravarijantne, kovarijantne i fizičke koordinate vektora. Prostorni izvodi i kinematički elementi u ortogonalnim generalisanim koordinatama. Diferencijalne jednačine materijalne tačke i sistema materijalnih tačaka u generalisanim koordinatama.

2. TENZORI U TRODIMENZIONALNOM EUKLIDSKOM PROSTORU

a.Osnovni pojmovi o tenzorima

Tenzori kao linerani operatori. Dijade. Koordinatni vektori tenzora. Reprezentacije tenzora (matrična dijadska, uredjenim skupovima tri vektora). Ponašanje reprezentacionih elemenata pri rotacijama bazisnog triedra. Invarijante tenzora. Konjugovani tenzor. Odnos invarijanti dva uzajamno konjugovana tenzora.

b. Algebra tenzora

Sabiranje i množenje skalarom. Množenje tenzora i njegove osobine. Skup tenzora kao linearni vektorski i unitarni prostor. Jednični tenzor, inverzni tenzor, (anti)komutator, konjugovanje i invertovanje proizvoda tenzora, idempotennti tenzor.

Loklani tenzor I njegove specifičnosti.

c. Tenzori sa speicjalnim svojstvima simetrije

Definicija i osobine simetričnog tenzora (pripadajuća matrica, vektorska invarijanta, izotropni tenzori i devijatori). Antisimetričan tenzor (definicija, osobine pripadajuće matrice, dualni vektor, invarijante, razlaganje ma kog tenzora na simetrični I asimetrični). Unitarni tenzori (definicija, matrično predstavljanje, verzori I perverzori, invarijante). Opšte karakteristike unitarnih transformacija.

d. Svojstveni problem tenzora

Formulacija problema, svojstvene vrednosti i svojstveni pravci, degeneracije svojstvene vrednosti. Karakteristična jednačina. Svojstveni problem antisimetričnog, unitarnog i simetričnog tenzora (svojstveni bazis, dijagonalizacije matrice). Normalni oblik tenzora, definicija, svodjenje ma kog tenzora na normalni oblik.. Razlaganje ma kog tenzora na proizvod simetričnog tenzora i verzora.

f. Primene u klasičnoj fizici

Apsolutno kruto telo: definicija, laboratorijski i svojstveni trijedar; brzina i ubrzanje, nezavisnost ugaone brzine od ozbora pola sopstvenog trijedra. Tenzor inercije, glavne ose i glavni momenti, elipsoid inercije. Teorema impulsa I momenta impulsa u primenama.

Naprekidna sredina: pojam kontinuma, tenzori deformacije i brzina deformacije. Jednačina kontinuiteta mase, jednačina kontinuiteta naelektrisanja. Jednačina kretanja
neprekidne sredine, tenzor napona i njegova simetričnost.

Elektrodinamika: dielektrični tenzor i tenzor elektroprovodnosti u statičkom električnom
Polju. Tenzor kvadrupolnog momenta i njegov e osobine.

g. Osnove varijacionog računa

Pojam varijacije, referentni i zaobilazni put, opšte osobine varijacija. Pojam funkcionele varijacije funkcionele. Varijacije u Lagranževom smislu, ekstremala, Ojler-Lagranževe diferencijalne jednačine za ekstremalu. Varijacioni principi u fizici.

3. TEORIJA APSTRAKTNIH PROSTORA

a. Linearni vektorski prostori (LVP)

Aksiomi sabiranja i množenja skalarom karakteristični za LVP. Primeri LVP (kl. vektori, tenzori, matrice, nizovi, funkcije). Linearne kombinacije, linearna nezavisnost, algebarske baze. Algebarski izomorfizam.

b. Metrički prostori

Pojam metrike, aksiomi metrike, primeri metričkih prostora (Ek, C(a,b), lp, Cp(a,b) kao metrički prostori). Nizovi u metričkim prostorima. Kompletni metrički prostori. Kompaktnost matričkog prostora, separabilnost.

c. Normirani prostori

Pojam i aksiomi norme. Uvodjenje metrike generisane normom.

d. Ermitski prostori

Aksiomi skalarnog množenja. Nejednačine Švarca i Minkovskog. Uvodjenje norme generisane skalarnim proizvodom I metrike zasnovane na normi. Primeri ermitskih prostora. Ortonormirani sistemi elemenata (ONS) u ermitskim prostorima. Pojam kongruencije E.P.
Unitarni prostori – Definicija, ortonormirane baze.Furijeovi koeficijenti i Furijeovo razlaganje bilo kog elementa unitarnog prostora. Beselova i parsevalova jednačina. Šmitov postupak ortogonalizacije.

Beskonačno-dimenzioni kompletni ermitski prostori (BDKEP) – Ortonormirani sistemi elemenata u BDKEP, Furiejovi koeficijenti ma kog elementa ( u BDKEP), svojstva. Beselova nejednačina. Ritc-Fišerova teorema.

Hilbertovi prostori (separabilni BDKEP) – Prebrojivost potpuno ortonormiranog sistema elemenata (PONS) kao dovoljan uslov separabilnosti BDKEP-a. Beselova I Parsevalova jednačina, ortonormirane baze. Funkcionalni Hilbertov prostor L2(a,b): definicija, dokaza da je LVP i ermitski, kompletnost, separabilnost. Odnos L2(a,b) i C(a,b).

4. Specijalne funkcije

a. Gama i beta funkcija

Definicija i osnovna svojstva

b. Ortogonalni polinomi

Osnovne osobine skupa ortogonalnih polinoma.

Ležandrovi polinomi – Generatrisa, Rodrigova formula, rekurentne formule.Ležandrova diferencijalna jednačina i Ležandrovi polinomi kao njena rešenja.Ortogonalnost, razvoj funkcija po Ležandrovim polinomima.

Lagerovi polinomi – Generatrisa, rekurentne formule, Lagerova dif. jednačina.

Ermitovi polinomi – Generatrisa, rekurentne formule, Ermitova dif. jednačina. Ortogonalnost, razvoj funkcija po Ermitovim polinomima.

5. Linerni operatori

Pojam operatora, linearni operator, osnovne osobine. Algebra operatora, prikazivanje pomoću matrica, definicija svojstvenog problema lineranog operatora. Definicija unitarnih i ermitskih operatora. Unitarne transformacije.

6. Elementi teorije grupa

Definicija grupe. Osnovni pojmovi. Poredak i dimenzionalnost grupe. Podela na globalne i lokalne. Podgrupe. Izomorfizam grupe. Invarijantne i faktor grupe. Definicija i osnovne osobine Lievih grupa. Generatori. Opšta linerana grupa. (Specijalne) Ortogonalne grupe,
unirane grupe i njihova veza sa ortogonalnim grupama: U(1), SU(2), O(2), SO(3). Linerana reprezentacija grupe. Pojam reducibilnih i ireducibilnih reprezentacija.

OBLICI NASTAVE: Predavanja I računske vežbe, kolokvijumi, seminarski rad.

USLOVI ZA POLAGANJE ISPITA: Redovno pohadjanje nastave

NAČIN POLAGANJA ISPITA: Pismeno i usmeno. Pismeni deo je eliminatoran.