•  Opšti tenzorski račun.

1.1. Afine mnogostrukosti - Hiperlinije, hiperpovrsi i k-dimenzioni varijeteti. Skalari, kontravarijantni i kovarijantni vektori. Kontravarijantni i kovarijantni i mesoviti tenzori drugog reda. Tenzori proizvoljnog reda. Relativni tenzori. Kronecker-ov tenzor i tenzori Levi-Civita. Algebarske operacije sa tenzorima (sabiranje, mnozenje skalarom, kontrakcija, spolja snji i unutrasnji proizvod). Zakon kolicnika.

1.2. Riemann-ovi prostori . - Metricki tenzor i asocirani metricki tenzor. Podizanje i spustanje indeksa. Skalarni proizvod, duzine uglovi, element zapremine. Christoffel-ovi simboli I i II vrste i njihova transformaciona svojstva. Geodezijske linije. Kovarijantno diferenciranje, Riemann-Christoffel-ov tenzor krivine prostora. Kovarijantno definisanje prostornih izvoda. Apsolutni (Bianchi-jevi) izvodi.

2. Fourier-ova transformacija.

2.1. Dirac-ova delta funkcija - Definisanje delta-funkcije preko nizova funkcija, osnovne osobine delta funkcije, funkcija jediničnog skoka i funkcija sgn x , integrali ovih funkcija.

Izvod delta funkcije. Diferenciranje i integriranje funkcija koje imaju prekide prve vrste.

2.2. Fourier-ova transformacija - Spektar zadane funkcije (diskretan, kontinuiran), spektralna gustina. Spektralna gustina realnih funkcija i njene osobine. Relacija

i nalazenje spektralne gustine ma kakve funkcije (Fourier-ovo razlaganje). Osnovne osobine Fourier-ove transformacije: linearnost F - operatora, F -transform izvoda funkcije, promena F transforma pri translaciji originala, spektralna gustina konvolucije. Ponasanje spektralne gustine pri . Bethe-ov integral. Bessel-ova i Parseval-ova jednačina za F transforme. Spektralno razlaganje periodičnih funkcija. Spektralno razlaganje Gauss-ove funkcije i veza sa relacijama neodredjenosti.

3. Specijalne funkcije.

3.1. Gama i beta funkcije - Definicija gama i beta funkcije. Eulerov integral prve vrste. Rekurentna relacija. Razni načini prikazivanja gama funkcije. Veza izmedju gama funkcije i trigonometrijskih funkcija. Riemann-ova funkcija.

3.2. Ortogonalni polinomi - Opsti stavovi o ortogonalnim polinomima. Legendre-ovi polinomi: generatrisa, Rodrigues-ova formula, rekurentne formule. Legendre-ova diferencijalna jednačina. Ortogonalnost Legendre-ovih polinoma i izracunavanje njihove norme. Legendre-ove funkcije i Fourier-ov razvoj bilo koje funkcije iz po njima.

Laguerre-ovi polinomi: generatrisa, opšta formula za , rekurentne formule. Generalisani Laguerre-ovi polinomi. Laguerre-ova diferencijalna jednacina. Potpunost skupa Laguerre-ovih polinoma. Ortogonalnost Laguerre-ovih polinoma i izračunavanje njihove norme. Laguerre-ove funkcije i Fourier-ov razvoj bilo koje funkcije iz po njima. Diferencijalna jednačina za Laguerre-ove funkcije. Hermite-ovi polinomi: generatrisa, opsta formula za , rekurentne formule. Hermite-ova diferencijalna jednačina. Potpunost skupa Hermite-ovih polinoma. Ortogonalnost Hermite-ovih polinoma i izračunavanje njihove norme. Hermite-ove funkcije i Fourier-ov razvoj bilo koje funkcije iz po njima. Diferencijalna jednačina za Hermite-ove funkcije.

3.3. Bessel-ove funkcije - Bessel-ova diferencijalna jednačina i Bessel-ova funkcije I i II vrste. Bessel-ova funkcija i njihova generatrisa. Bessel-ova funkcija reda . Lommel-ovi integrali za Bessel-ove funkcije. Ortogonalnost funkcija i njihova norma, mogućnost Fourierovog razvoja po njima. Rešavanje diferencijalne jednacine oscilovanja uzeta.

3.4. Hipergeometrijske funkcije - Hipergeometrijski redovi i hipergeometrijske funkcije. Rekurentne relacije. Integralna reprezentacija hipergeometrijske funkcije. Konfluentna hipergeometrijska funkcija. Veza hipergeometriskih funkcija sa elementarnim funkcijama i ortogonalnim polinomima. Generalizovani hipergeometrijski redovi. Hipergeometrijske funkcije više promenljivih.

4. Linearni operatori.

Pojam linearnog operatora. Primeri linearnih operatora. Algebra linearnih operatora. Prikazivanje linearnih operatora pomoću matrica. Veze izmedju matricnih elemenata uzajamno adjungovanih i uzajamno inverznih operatora. Matrice unitarnih i ermitskih operatora. Matricna formulacija svojstvenog problema lin. operatora. Svojstveni problem l.operatora (svojstvene vrednosti i spektar operatora, svojstveni elementi, multiplicitet degeneracije). Spektri ograničenih, unitarnih i ermitskih operatora, Spektri potpuno neprekidnih ermitskih operatora. Svojstveni elementi ermitskog operatora. Adjungovani operatori: definicija i primeri. Unitarni operatori i njihove osobine. Specificnosti unitarnih transformacija. Ermitski operatori: definicija, primeri, osobine matricnih elemenata. Ermitski operatori u unitarnim prostorima; svojstveni bazis operatora. Ermitski operatori u Hilbert-ovim prostorima, pojam observable. Potpuno neprekidni operatori u Hilbertovim prostorima. Ermitski operatori kontinualnog spektra kao moguće observable.

5. Neki češći tipovi parcijalnih diferencijalnih jednacina matematicke fizike.

Pregled najčescih tipova parcijalnih diferencijalnih jednačina matematičke fizike. Metod razdvajanja promenljivih. Talasna jednačina i njeno resavanje u konkretnim slučajevima treperenja zategnute žice, oscilovanja pravougle i kružne membrane. Difuziona jednacina. Problem hladjenja vrlo dugog kružnog cilindra kroz omotač i pravougaone pločice kroz ivice.

Laplace-ova jednačina: rešavanje u konkretnim slučajevima stacionarnog provodjenja toplote. Rešavanje Laplace-ove jednacine u sfernim koordinatama. Asocirane Legendre-ove funkcije, površinski i zapreminski sferni harmonici. Schrodingerova jednačina u kvantnoj mehanici i drugim oblastima fizike. Schrodingerova jednačina za linearni harmonijski oscilator. Spektar energijskih nivoa oscilatora.

Način polaganja ispita: Pismeno i usmeno.

Literatura:

1. Dj. Mušicki, B. Milić, Matematičke osnove teorijske fizike , Naučna knjiga, Beograd 1975.

2. D.S.Mitrinović, Uvod u specijalne funkcije , Gradjevinska knjiga, Beograd 1972.

3. Z.X. Wang, D.R.Duo, Special functions, World Scientific, London 1989.

4. T. Andjelić, Tenzorski racun , Naučna knjiga, Beograd 1967.